To prìgramma Ribe. Gi rgoc Qasˆphc

Transcript

1 To prìgramma Ribe Διπλωματική Εργασία ΔΠΜΣ «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» Gi rgoc Qasˆphc Επιβλέπων: Απόστολος Γιαννόπουλος Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεας Μαθηματικων Αθηνα, 2014

2

3 Perieqìmena 1 Εισαγωγή Το πρόγραμμα Ribe Περιγραφή της δομής της εργασίας Το Θεώρημα του Ribe Το Θεώρημα του Ribe Τύπος και Συντύπος χώρων Banach Συναρτήσεις Rademacher και συναρτήσεις Walsh Η ανισότητα του Pisier για την προβολή Rademacher Τύπος και συντύπος Θεώρημα Maurey-Pisier: Η περίπτωση του τύπου p-ευσταθείς τυχαίες μεταβλητές Αναπαράσταση διανυσματικών ευσταθών τυχαίων μεταβλητών Βοηθητικά αποτελέσματα Ευσταθής τύπος p Απόδειξη του θεωρήματος Maurey-Pisier Μετρικός τύπος Σταθερά μετρικού τύπου p Απόδειξη του θεωρήματος των Bourgain, Milman και Wolfson Τύπος και μετρικός τύπος σε χώρους Banach Ο ορισμός του Enflo για τον μετρικό τύπο p Μετρικός συντύπος Ορισμοί και βοηθητικά αποτελέσματα Η ισοδυναμία μετρικού και Rademacher συντύπου Χώροι Hilbert K-κυρτοί χώροι Banach

4 iv Περιεχομενα Από μετρικό σε Rademacher συντύπο Από Rademacher σε μετρικό συντύπο Ενα μετρικό ανάλογο του Θεωρήματος Maurey-Pisier Εμφυτεύσεις μετρικών χώρων σε χώρους με νόρμα Εμφυτεύσεις τυπου Fréchet l -εμφυτεύσεις Ευκλείδειες εμφυτεύσεις Θεώρημα Dvoretzky για μετρικούς χώρους Μια κατασκευή Μη γραμμική θεωρία Dvoretzky Η δομή των υπερμετρικών χώρων Ενα θεώρημα εμφύτευσης με βάρη Ο υπερμετρικός σκελετός ενός μετρικού χώρου Αναγωγή του προβλήματος στην πεπερασμένη περίπτωση Δένδρα και απεικονίσεις κατακερματισμού Μια πρώτη απεικόνιση διαμέρισης Αραιωμένα υποδένδρα Φτιάχνοντας τη βέλτιστη απεικόνιση Από απεικονίσεις κατακερματισμού σε θεωρήματα κάλυψης Εφαρμογές Πεπερασμένοι μετρικοί χώροι Υπερμετρικά υποσύνολα μεγάλης Hausdorff διάστασης Majorising measures Αʹ Συγκέντρωση του μέτρου στον διακριτό κύβο 183 Αʹ.1 Η ανισότητα του Talagrand Αʹ.2 Ανισότητα του Azuma Αʹ.3 Ανισότητα του Khintchine Αʹ.4 Ανισότητα Kahane-Khintchine Βʹ Μέτρα και διάσταση Hausdorff 199 Βʹ.1 Η κατασκευή του Καραθεοδωρή Βʹ.2 Μέτρα Hausdorff Βʹ.3 Η διάσταση Hausdorff Βʹ.4 Το λήμμα του Frostman Βιβλιογραφία 209 Ευρετήριο 213

5 KEFŸALAIO 1 Eisagwg 1.1 To prìgramma Ribe Οι χώροι Banach είναι τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. Στη γραμμική θεωρία, μελετώνται οι ιδιότητες της τοπολογικής, της μετρικής και της γραμμικής δομής τους, και βασικό ρόλο παίζουν οι γραμμικές και συνεχείς απεικονίσεις: δύο χώροι Banach X, X ) και Y, Y ) στην ουσία ταυτίζονται αν είναι γραμμικά ισομετρικοί, αν υπάρχει δηλαδή ένας γραμμικός και επί τελεστής T : X Y τέτοιος ώστε T x Y = x X για κάθε x X. Το 1932, οι Mazur και Ulam έδειξαν στο [46] ότι αν μια όχι απαραίτητα γραμμική) συνάρτηση f απεικονίζει ισομετρικά τον X επί του Y, τότε η f είναι αφινική απεικόνιση απλές αποδείξεις του γεγονότος αυτού μπορούν να βρεθούν στα [59], [72]). Σύμφωνα με ένα μεταγενέστερο αποτέλεσμα του Figiel [21], αν η f : X Y είναι ισομετρία και f0) = 0, τότε υπάρχει μοναδικός γραμμικός τελεστής T : spanfx)) X τέτοιος ώστε T = 1 και T fx)) = x, για κάθε x X. Τα αποτελέσματα αυτού του τύπου δείχνουν πως η γραμμική δομή των χώρων Banach παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τη δράση μη-γραμμικών) ισομετριών. Από την άλλη μεριά, ο πλούτος της δομής των χώρων Banach καταρρέει αν κανείς αφαιρέσει κάθε ποσοτική παράμετρο και τους θεωρήσει απλώς και μόνο σαν τοπολογικούς χώρους: Συγκεκριμένα, κάθε δύο διαχωρίσιμοι απειροδιάστατοι χώροι Banach είναι ομοιομορφικοί Kadec, [33]). Φαίνεται έτσι ότι ενώ ή γραμμική δομή ενός χώρου Banach καθορίζεται πλήρως από τη δομή που αυτός έχει σαν μετρικός χώρος, η τοπολογική δομή του από μόνη της δεν μπορεί να δώσει πληροφορίες για τις γραμμικές του ιδιότητες. Στο μέσο των δύο αυτών άκρων, μπορεί κανείς να εστιάσει στους ομοιομορφισμούς μεταξύ χώρων Banach που είναι «ποσοτικά συνεχείς»: Αν M, d M ) και N, d N ) είναι δύο μετρικοί χώροι, θα λέμε ότι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f : M N είναι uniformομοιομορφισμός, αν τόσο η f όσο και η f 1 είναι ομοιόμορφα συνεχείς. Η κατάσταση τότε αποκτά περισσότερο ενδιαφέρον: Το 1964 ο Lindenstrauss [38] έδειξε ότι, σε αντίθεση

6 2 Εισαγωγη με το θεώρημα του Kadec, υπάρχουν πολλά ζεύγη διαχωρίσιμων απειροδιάστατων χώρων Banach, συμπεριλαμβανομένων των L p µ) και L q ν) αν p q και max{p, q} 2, που δεν είναι uniform-ομοιομορφικοί. Στο [14] ο Enflo συμπληρώνει τη δουλειά του Lindenstrauss, δείχνοντας ότι οι L p µ) και L q ν) δεν είναι uniform-ομοιομορφικοί αν p q και p, q [1, 2], και στο [16] αποδεικνύει ότι ένας χώρος Banach X που είναι uniform-ομοιομορφικός με ένα χώρο Hilbert H, είναι αναγκαστικά και γραμμικά ισομορφικός με τον H. Μεταγενέστερη δουλειά των Johnson, Lindenstrauss και Schechtman [32] δίνει το ίδιο αποτέλεσμα για τους χώρους l p, p 0, ) στη θέση του H. Από την άλλη μεριά, είναι γνωστό, από δουλειές των Aharoni και Lindenstrauss [1] και Ribe [64], ότι υπάρχουν ζεύγη uniformομοιομορφικών χώρων Banach, που όμως δεν είναι γραμμικά ισομορφικοί. Το να είναι λοιπόν δύο χώροι Banach uniform-ομοιομορφικοί είναι ένα γεγονός που μπορεί να εγγυηθεί ομοιότητες στη γραμμική τους δομή, χωρίς όμως εν γένει να συνεπάγεται την ύπαρξη ενός γραμμικού ισομορφισμού μεταξύ τους. Το 1976 ο Martin Ribe δείχνει στο [63] ότι αν δύο χώροι Banach είναι uniformομοιομορφικοί, τότε έχουν τους «ίδιους» πεπερασμένης διάστασης υπόχωρους. Για να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι, θα λέμε παρακάτω ότι, δεδομένων δύο χώρων Banach X, X ) και Y, Y ), ο X είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον Y αν υπάρχει σταθερά K 1 τέτοια ώστε, για κάθε πεπερασμένης διάστασης υπόχωρο F του X υπάρχει ένας γραμμικός τελεστής T : F Y που ικανοποιεί την x X T x Y K x X, για κάθε x F. Χρησιμοποιώντας αυτή την ορολογία, έχουμε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα M. Ribe, 1976). Αν δύο χώροι Banach X και Y είναι uniformομοιομορφικοί, τότε ο X είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον Y και ο Y είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον X. Εναλλακτικές αποδείξεις του Θεωρήματος από τους Heinrich και Mankiewicz [26], και Bourgain [10]) έκαναν την εμφάνισή τους αργότερα. Σημειώνουμε ότι το αντίστροφο του θεωρήματος του Ribe δεν ισχύει, καθώς για παράδειγμα για p [1, )\{2} οι L p R) και l p είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμοι ο ένας στον άλλο, αλλά όχι uniform-ομοιομορφικοί: Η περίπτωση p = 1 αποδείχθηκε από τον Enflo, η περίπτωση p 1, 2) από τον Bourgain [10], και η περίπτωση p 2, ) από τον Gorelik [23]. Το Θεώρημα λέει, κάπως άτυπα, ότι οι ιδιότητες των πεπερασμένης διάστασης χώρων Banach που δεν αλλοιώνονται από γραμμικούς ισομορφισμούς, διατηρούνται μέσω των uniform-ομοιομορφισμών, όντας έτσι στην ουσία «μετρικές ιδιότητες». Το 1985, ο Bourgain [9], εγκαινιάζει αυτό που αργότερα ονομάστηκε «The Ribe program» από τους Ball και Naor, και αποτελεί μέχρι σήμερα μια σειρά από έρευνες πάνω στο παραπάνω φαινόμενο: Αν κομμάτια της τοπικής θεωρίας χώρων Banach είναι στην πραγματικότητα μια «μεταμφιεσμένη μη-γραμμική θεωρία», τότε καταφέρνοντας κανείς να τα μεταφράσει σωστά χρησιμοποιώντας μονό τη μετρική δομή, θα ήταν δυνατό να μελετηθούν πλέον στο γενικότερο πλαίσιο των μετρικών χώρων. Προτείνοντας μια τέτοια οπτική, ο Bourgain στο [9] κάνει την αρχή δίνοντας ένα μετρικό χαρακτηρισμό της υπερανακλαστικότητας. Λέμε ότι ένας χώρος Banach X είναι υπερανακλαστικός, αν κάθε χώρος Banach Y που είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον X είναι ανακλαστικός. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα

7 1.1 Το προγραμμα Ribe 3 του Bourgain, ένας χώρος Banach X δεν είναι υπερανακλαστικός αν και μόνο αν περιέχει κόπιες από αυθαίρετα μεγάλα δυαδικά δένδρα με άλλα λόγια: το άπειρο δυαδικό δένδρο T είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμο στον X σαν μετρικός χώρος όπου τον ρόλο των γραμμικών ισομορφισμών αναλαμβάνουν πια οι εμφυτεύσεις T X). Δύο άλλες ιδιότητες των χώρων Banach που εμπίπτουν στο πλαίσιο που περιγράψαμε παραπάνω είναι αυτές του τύπου και του συντύπου. Λέμε ότι ένας χώρος Banach X έχει τύπο-p, για κάποιο p [1, 2], αν υπάρχει σταθερά T > 0 τέτοια ώστε, για κάθε n N, 1.1.1) E ɛ { 1,1} n n 2 ɛ i x i X 1/2 n 1/p T x i X) p, για κάθε {x i } n X, ενώ αντίστοιχα ο X έχει συντύπο-q, για κάποιο q [2, ), αν υπάρχει σταθερά C > 0 τέτοια ώστε, για κάθε n N, 1.1.2) n 1/q x i X) q C E ɛ { 1,1} n n 2 ɛ i x i για κάθε {x i } n X. Οι ανισότητες 1.1.1) και 1.1.2) μαζί, μπορούν να ιδωθούν σαν ένας γενικευμένος κανόνας του παραλληλογράμμου εύκολα βλέπει κανείς ότι και οι δύο ισχύουν για p = q = 2, αν ο X είναι χώρος Hilbert. Οι ιδιότητες του τύπου και του συντύπου παίζουν καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρία του χώρου. Είναι μια απλή παρατήρηση ότι ο l p έχει τύπο min{p, 2} και συντύπο max{2, p}. Το 1976, οι Maurey και Pisier δείχνουν στο [45] ότι οι ιδιότητες του τύπου και συντύπου χαρακτηρίζουν την παρουσία των χώρων l p μέσα σε έναν χώρο X: Θεώρημα Maurey Pisier, 1976). Εστω X ένας απειροδιάστατος χώρος Banach. Θέτουμε p X = sup{p : ο X έχει τύπο-p} και q X = inf{q : ο X έχει συντύπο-q}. Τότε για κάθε n N, και κάθε ε > 0, ο X περιέχει n-διάστατους υπόχωρους 1 + ε)- ισομορφικούς με τους l n p X, l n q X. Από τον ορισμό τους, οι έννοιες του τύπου και του συντύπου έχουν να κάνουν με πεπερασμένες ακολουθίες στοιχείων του χώρου. Επιπλέον αν X και Y είναι δύο χώροι Banach και T : X Y είναι ένας γραμμικός ισομορφισμός, εύκολα φαίνεται ότι αν ο X έχει τύπο ή συντύπο p για κάποιο p, το ίδιο θα ισχύει και για τον T X), με μια διαφορετική ίσως σταθερά. Με αφορμή το θεώρημα του Ribe λοιπόν, θα αναρωτιόταν κανείς αν οι έννοιες αυτές μπορούν να επαναπροσδιοριστούν με τρόπο τέτοιο, ώστε να βρίσκουν ισχύ, και να δίνουν αντίστοιχες πληροφορίες για τη γεωμετρία σε έναν μετρικό χώρο, όχι απαραίτητα εφοδιασμένο με τη γραμμική δομή μιας νόρμας. X 1/2,

8 4 Εισαγωγη Σύντομα κάτι τέτοιο φάνηκε πιθανό. Μπορούμε να προσεγγίσουμε την ιδέα ορισμού ενός «μετρικού ανάλογου» του τύπου ως εξής: Δεδομένων x 1,..., x n X, μπορούμε να ορίσουμε f : { 1, 1} n X μέσω της fɛ) = n ɛ ix i. Θέτουμε ɛ = ɛ 1,..., ɛ n ) και, για i {1,..., n}, ɛ i = ɛ 1,..., ɛ i 1, ɛ i, ɛ i+1,..., ɛ n ). Με μια εφαρμογή της ανισότητας Hölder και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω συμβολισμό, η ανισότητα 1.1.1) παίρνει τη μορφή 1.1.3) E ɛ { 1,1} n fɛ) f ɛ) 2 X ) 1/2 T n 1 p 1 2 n ) 1/2 E ɛ { 1,1} n fɛ) fɛ i ) 2 X. Η ανισότητα 1.1.3) φαίνεται τώρα να σχετίζεται καθαρά με αποστάσεις μεταξύ σημείων του χώρου Banach X, με τον περιορισμό ότι ισχύει για τη συγκεκριμένη, γραμμική συνάρτηση f. Απαιτώντας η 1.1.3) να ισχύει για κάθε f : { 1, 1} n X, φτάνουμε στον ορισμό που οι Bourgain, Milman και Wolfson έδωσαν το 1986, στο [12]. Ορισμός Μετρικός τύπος). Εστω M, d) ένας μετρικός χώρος. Λέμε ότι ο M έχει μετρικό τύπο-p, p [1, 2], αν υπάρχει σταθερά T τέτοια ώστε, για κάθε n N και κάθε f : { 1, 1} n M, 1.1.4) ) 1/2 E f ɛ))2 ɛ { 1,1} ndfɛ), T n 1 p 1 2 n ) 1/2 E ɛ { 1,1} ndfɛ), fɛ i )) 2. Από παλιότερη δουλειά του Enflo βλ. [14], [16]), πριν ακόμη το θεώρημα του Ribe κάνει την εμφάνισή του, συναντάται συχνά στη βιβλιογραφία και η παρακάτω παραλλαγή του Ορισμού 1.1.3: Λέμε ότι ένας μετρικός χώρος M, d) έχει E-τύπο p, αν υπάρχει σταθερά T τέτοια ώστε, για κάθε n N και κάθε f : { 1, 1} n M, E ɛ { 1,1} ndfɛ), f ɛ))p T p n E ɛ { 1,1} ndfɛ), fɛ i )) p. Το ερώτημα που γεννάται φυσιολογικά, είναι κατά πόσο οι παραπάνω ορισμοί συνάδουν με τον κλασικό ορισμό του τύπου στους χώρους Banach. Το ζήτημα αυτό, που ετέθη το 1976 από τον Enflo για την περίπτωση του E-τύπου), παραμένει, στην πλήρη γενικότητά του, ανοικτό. Πρόβλημα Είναι αλήθεια ότι αν ένας χώρος Banach X έχει τύπο-p, τότε έχει και E-τύπο p; Στο [12], οι Bourgain, Milman, Wolfson αποδεικνύουν ότι, με τον ορισμό 1.1.3, αν ένας χώρος Banach έχει τύπο-p, τότε έχει μετρικό τύπο p 1, για κάθε p 1 < p, και αντιστρόφως, αν έχει μετρικό τύπο p, τότε έχει και τύπο p 1, για κάθε p 1 < p. Σύντομα ο Pisier [62] δίνει μια νέα απόδειξη του γεγονότος αυτού, και απαντά σχεδόν στο ερώτημα του Enflo,

9 1.1 Το προγραμμα Ribe 5 αποδεικνύοντας ότι αν ένας χώρος Banach έχει τύπο-p, τότε έχει E-τύπο p 1, για κάθε 1 p 1 < p. Πέραν της συμφωνίας των δύο ορισμών, οι Bourgain, Milman και Wolfson, καταφέρνουν να αποδείξουν και ένα αποτέλεσμα ανάλογο με το θεώρημα των Maurey-Pisier, για την ειδικότερη περίπτωση p = 1. Συγκεκριμένα, ένας μετρικός χώρος M, d) δεν έχει μετρικό τύπο-p για κανένα p > 1, αν και μόνο αν c M { 1, 1} n, 1 ) = 1 για κάθε n N, όπου με c M N ) συμβολίζουμε την ελάχιστη παραμόρφωση με την οποία ο μετρικός χώρος N εμφυτεύεται στον M. Από το [10] ακόμα, ο Bourgain είχε προαναγγείλει τα αποτελέσματα του [12], όπως επίσης είχε ασχοληθεί με τις δυσκολίες που ανέκυπταν στις προσπάθειες να δοθεί και έ- νας ανάλογος ορισμός του συντύπου σε γενικούς μετρικούς χώρους. Σε αντίθεση με τη γραμμική περίπτωση, η αντιστροφή της ανισότητας στην 1.1.4) δεν μπορεί να λειτουργήσει αποτελεσματικά στο γενικότερο πλαίσιο, με αποτέλεσμα να πρέπει να αναζητηθεί ένας πιο περίπλοκος ορισμός. Στην πραγματικότητα χρειάστηκε να περάσουν πάνω από 20 χρόνια, μέχρι το 2008 οπότε οι Mendel και Naor καταφέρνουν να ορίσουν την έννοια του συντύπου σε μετρικούς χώρους [51], με τρόπο τέτοιο ώστε να συμβαδίζει με τον αντίστοιχο ορισμό στους χώρους με νόρμα, αλλά και να δίνει ακόμη ένα μετρικό ανάλογο του θεωρήματος Maurey-Pisier, για την περίπτωση του τετριμμένου q = ) συντύπου. Ορισμός Μετρικός συντύπος). Λέμε ότι ένας μετρικός χώρος M, d) έχει μετρικό συντύπο-q, αν υπάρχει σταθερά C > 0 τέτοια ώστε: για κάθε n N υπάρχει m 2N, έτσι ώστε για κάθε f : M να ικανοποιείται η 1.1.5) n d f x + m ) q 2 e j, fx)) C q m q E dfx + δ), fx)) q, δ { 1,0,1} n όπου με {e i } n συμβολίζουμε τη συνήθη βάση του διακριτού τόρου Zn m και η πρόσθεση γίνεται modulo m. Εναλλακτικοί ορισμοί του τύπου και του συντύπου, με συγκεκριμένες εφαρμογές, έχουν δοθεί τα τελευταία χρόνια από τους K. Ball Markov type και cotype, βλ. [4],[5]), και Mendel-Naor scaled Enflo type, [49]). Οπως γίνεται αντιληπτό, ο επαναπροσδιορισμός πτυχών της θεωρίας χώρων Banach σε ένα καθαρά μετρικό πλαίσιο είναι μόνο η αρχή. Ο επόμενος σημαντικός στόχος του «προγράμματος Ribe» είναι, από τη μία η διερεύνηση του εύρους στο οποίο οι ιδιότητες των χώρων Banach μπορούν, μετά από την κατάλληλη «μετάφραση», να ρίξουν φως στη γεωμετρία των μετρικών χώρων, αλλά και η αποκάλυψη μετρικών φαινομένων που καθρεφτίζουν αντίστοιχα αποτελέσματα της γραμμικής θεωρίας, χωρίς τα πρώτα να βασίζονται, αυστηρά μιλώντας, σε «μετρικές μεταφράσεις» αντίστοιχων γραμμικών ιδιοτήτων. Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι το θεώρημα εμφύτευσης πεπερασμένων μετρικών χώρων σε χώρο Hilbert του Bourgain 1985), που γεννήθηκε μέσα από την διερεύνηση ενός μετρικού ανάλογου του θεωρήματος του John. Συγκεκριμένα, στο [8] ο Bourgain, χρησιμοποιώντας την πιθανοθεωρητική μέθοδο και μια εμφύτευση τύπου Fréchet, δείχνει ότι κάθε μετρικός χώρος με n σημεία εμφυτεύεται στον l 2 με παραμόρφωση Olog n). Ενα χρόνο αργότερα,

10 6 Εισαγωγη οι Bourgain, Figiel και Milman στο [11] μελετάνε για πρώτη φορά ένα πρόβλημα τύπου Dvoretzky για μετρικούς χώρους, δείχνοντας ότι ένας μετρικός χώρος με n σημεία έχει υποσύνολο πληθικότητας Ωlog n) που εμφυτεύεται «σχεδόν ισομετρικά» σε χώρο Hilbert, με την παραπάνω λογαριθμική τάξη μεγέθους να είναι γενικά η βέλτιστη δυνατή. Με την πάροδο των χρόνων, η εύρεση «μεγάλων» και «σχεδόν Ευκλείδειων» υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας και στη θεωρία αλγορίθμων: Σύνολα δεδομένων είναι συνήθως εφοδιασμένα με μια μετρική δομή, η οποία όμως σπανίως είναι γραμμική. Μια αποτελεσματική διαδικασία αντιμετώπισης ορισμένων αλγοριθμικών προβλημάτων είναι, εμφυτεύοντας κανείς με σχετικά μικρή παραμόρφωση ένα σύνολο δεδομένων σε μια γνωστή γραμμική γεωμετρία, να απολαμβάνει τη δυνατότητα χρήσης της γραμμικής δομής για την ανάλυσή του. Μια δομή ισομετρικά ισόμορφη με χώρο Hilbert βλ. [70]), η οποία εμφανίζει πρόσθετες σημαντικές συνδυαστικές ιδιότητες και εμφανίζεται συχνά σε αυτήν την ερευνητική περιοχή, είναι αυτή του υπερμετρικού χώρου: Ενας μετρικός χώρος M, d) λέγεται υπερμετρικός, αν η d ικανοποιεί μια ισχυρότερη μορφή της τριγωνικής ανισότητας, συγκεκριμένα dx, y) max{dx, z), dx, y)}, για κάθε x, y, z M. Άρχισε να διαφαίνεται μάλιστα ότι αν κανείς αφήσει την παραμόρφωση της ζητούμενης εμφύτευσης να μεγαλώσει, το μέγεθος των «Ευκλείδειων» ή «υπερμετρικών») υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου μπορεί να είναι τελικά σημαντικά μεγαλύτερο. Συμπληρώνοντας μια σειρά σχετικών ερευνών, ένα θεώρημα τύπου Dvoretzky για πεπερασμένους μετρικούς χώρους των Naor και Tao εξασφαλίζει ότι το παραπάνω είναι αλήθεια για κάθε παραμόρφωση D > 2. Θεώρημα Naor, Tao [58]). Εστω D > 2 και X, d) ένας μετρικός χώρος με n σημεία. Τότε υπάρχει υποσύνολο S του X τέτοιο ώστε S n θd) και το S εμφυτεύεται σε υπερμετρικό χώρο με παραμόρφωση D, όπου με θd) παραπάνω συμβολίζουμε τη μοναδική λύση της εξίσωσης 2 θ = 1 θ)θ 1 θ. D Σε μια νέα κατεύθυνση, ο Tao προτείνει το 2006 μια παραλλαγή του μη-γραμμικού προβλήματος Dvoretzky, αντιστοιχίζοντας στην έννοια του «μεγέθους» όχι το πλήθος των στοιχείων, αλλά τη διάσταση Hausdorff ενός μετρικού χώρου, που αποτελεί μια γενίκευση της έννοιας της γραμμικής διάστασης στο πλαίσιο των χώρων με νόρμα. Λίγα χρόνια αργότερα, οι Mendel και Naor δίνουν μια απάντηση και σε αυτό το πρόβλημα, με το παρακάτω γενικό θεώρημα. Θεώρημα Mendel, Naor [54]). Για κάθε ε 0, 1) υπάρχει C ε 0, ) με την ακόλουθη ιδιότητα: Εστω X, d) ένας συμπαγής μετρικός χώρος και µ ένα Borel μέτρο πιθανότητας στον X. Τότε υπάρχει συμπαγές σύνολο S X με τις ιδιότητες: 1) Το S εμφυτεύεται με παραμόρφωση O1/ε) σε υπερμετρικό χώρο.

11 1.2 Περιγραφη της δομης της εργασιας 7 2) Υπάρχει ένα Borel μέτρο πιθανότητας ν με suppν) = S που ικανοποιεί τη σχέση για κάθε x X και r [0, ). νb d x, r)) µb d x, C ε r))) 1 ε Εχοντας μεν ξεπηδήσει μέσα από το «πρόγραμμα Ribe» και τη σύνδεση γραμμικών και μετρικών ιδιοτήτων, αποτελέσματα σαν τα παραπάνω είναι ωστόσο πλέον καθαρά «μηγραμμικά», εμπλέκοντας συχνά έννοιες που δεν έχουν κοντινούς συγγενείς στη θεωρία χώρων Banach. Είναι λοιπόν τουλάχιστον ενδιαφέρον πώς, σαράντα σχεδόν χρόνια μετά το θεώρημα του Ribe, έρευνες που γονιμοποιήθηκαν από το αποτέλεσμα αυτό έχουν αφήσει πια ένα σημαντικό αντίκτυπο σε ποικίλους τομείς των μαθηματικών από τη γεωμετρία χώρων Banach και τις πιθανότητες, μέχρι τη γεωμετρική θεωρία ομάδων ή τη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών. 1.2 Perigraf thc dom c thc ergasðac Η παρούσα εργασία έχει σκοπό να παρουσιάσει ορισμένες πτυχές διαφορετικών ερευνών που έχουν λάβει χώρα τα τελευταία τριάντα χρόνια και έχουν σήμερα μπει κάτω από τη σκεπή του «προγράμματος Ribe». Ετσι, κάθε κεφάλαιο καταφέρνει να διατηρήσει μια σχετική αυτονομία. Κρίθηκε σκόπιμο ένα εισαγωγικό κεφάλαιο να πραγματεύεται τις έννοιες του τύπου και συντύπου χώρων Banach, προτού καταπιαστούμε με τους αντίστοιχους ορισμούς σε μετρικούς χώρους. Ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή των περιεχομένων του κειμένου. Κεφάλαιο 2. Το κεφάλαιο αυτό είναι αφιερωμένο στο θεώρημα του Ribe Θεώρημα 1.1.1). Παρουσιάζουμε μια απόδειξη που μένει κοντά στο πνεύμα της αρχικής, κάνοντας χρήση συνδυαστικών και γεωμετρικών επιχειρημάτων. Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι αν φ : X Y είναι ένας uniform-ομοιομορφισμός, τότε είναι συνάρτηση Lipschitz για μεγάλες αποστάσεις, συγκεκριμένα για κάθε δ > 0 υπάρχει σταθερά K > 0 τέτοια ώστε x y X δ = φx) φy) Y K x y X, x, y X. Για τυχόντα υπόχωρο X 1 του X διάστασης n χρησιμοποιούμε το παραπάνω γεγονός βρίσκοντας μια βάση {x i } n X 1 τέτοια ώστε n k i x i 1, X για κάθε επιλογή ακεραίων {k i } n, και θεωρούμε τα σύνολα { n } M = k i x i k i Z, i = 1,..., n,

12 8 Εισαγωγη και για δεδομένα u M, s > 0, m N, { L = Lu, s, m) = u + s n Για κάθε L ορίζουμε έπειτα φ L : sm Y μέσω της φ, με k i x i k i Z, max 1 i n k i m φ L y) = L 1 z L φz + y) φz)). }. και δείχνουμε ότι είναι K-Lipschitz και «σχεδόν γραμμική», αν αφήσουμε το μέγεθος του L να μεγαλώσει αυθαίρετα οπότε και μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι τα κανονικοποιημένα σημεία του L σχηματίζουν ένα αρκετά πυκνό δίκτυο στη μοναδιαία σφαίρα του X 1. Μπορούμε τότε να βρούμε γραμμικό τελεστή T L : X 1 Y με T L 2K. Για να ε- ξασφαλίσουμε τέλος ότι υπάρχει ο ζητούμενος ισομορφισμός, πρέπει να περάσουμε στην εύρεση ενός κατάλληλου L 1 L για το οποίο χρησιμοποιώντας ένα επιχείρημα δυϊσμού εξασφαλίζουμε ότι T L1 1/4. Εχουμε δείξει τότε ότι για τον τυχαίο πεπερασμένης διάστασης υπόχωρο X 1 του X υπάρχει υπόχωρος Y 1 = T L1 X 1 ) του Y ώστε dx 1, Y 1 ) 8K. Κεφάλαιο 3. Χρησιμοποιούμε στοιχεία από τη θεωρία πιθανοτήτων και την αρμονική ανάλυση σε χώρους Banach. Ξεκινάμε έτσι στην παράγραφο 3.1 με τις βασικές ιδιότητες των συναρτήσεων Rademacher {r i } n και Walsh {w A} A [n]. Αν X είναι ένας χώρος Banach, η Rademacher προβολή μιας συνάρτησης f : E2 n := { 1, 1} n X ορίζεται στην παράγραφο 3.2 ως εξής: Θεωρούμε τον γραμμικό τελεστή Rad n : L 2 E2 n ; X) span{r i : i = 1,..., n} X) με n Rad n fɛ) = r i ɛ)x {i}, όπου x {i} = r E2 n i f. Θέτουμε τότε K n) r X) := Rad n L2E n 2 ;X) L2En 2 ;X), και αναζητούμε άνω φράγμα για την K r n) X) στην περίπτωση που ο X είναι ένας n- διάστατος χώρος με νόρμα. Βλέποντας την Rad n f σαν τη συνέλιξη της f με την πραγματική συνάρτηση g r ɛ) = n r iɛ), μπορούμε να δείξουμε ότι K r n) X) n. Ο Pisier στο [60] έδωσε μια καλύτερη εκτίμηση. Θεώρημα Pisier). Υπάρχει απόλυτη σταθερά C τέτοια ώστε, για κάθε n-διάστατο χώρο με νόρμα X, K r n) X) C logn + 1). Η παράγραφος 3.2 είναι αφιερωμένη στην απόδειξη του παραπάνω αποτελέσματος. Στην παράγραφο 3.3 δίνουμε τους ορισμούς του τύπου και του συντύπου χώρων Banach και εξετάζουμε τις βασικές τους ιδιότητες. Συγκεκριμένα, αν X είναι ένας χώρος Banach,

13 1.2 Περιγραφη της δομης της εργασιας 9 τότε για κάθε n N και 1 p 2 ονομάζουμε T p X, n) τη μικρότερη σταθερά T τέτοια ώστε, για κάθε x 1,..., x n X, 1.2.1) E n 2 n 2 ɛ i x i dɛ 1/2 n ) 1/p T x i p. Ακόμη, για κάθε 2 q < ονομάζουμε C q X, n) τη μικρότερη σταθερά C για την οποία n ) 1/q 1.2.2) x i q C n 2 1/2 ɛ i x i dɛ, για κάθε x 1,..., x n X. Αν T p X) = sup m E n 2 T p X, m) και C q X) = sup C q X, m), m λέμε ότι ο X έχει τύπο-p αντ. συντύπο-q) αν T p X) < αντ. C q X) < ). Εύκολα προκύπτει ότι αν ένας χώρος Banach έχει τύπο-p > 1, τότε έχει και τύπο-p 1 για κάθε 1 p 1 < p, ενώ αν έχει συντύπο-q <, τότε έχει και συντύπο-q 1 για κάθε q < q 1, ενώ κάθε χώρος Banach ισομορφικός με χώρο Hilbert έχει τύπο και συντύπο-2 στην πραγματικότητα ισχύει και το αντίστροφο, βλ. Kwapien [35]). Ισχύει ακόμη για ένα χώρο Banach X ότι, αν ο X έχει τύπο-p για κάποιο p > 1, τότε ο X έχει συντύπο-q, όπου q ο συζυγής εκθέτης του p. Το αντίστροφο είναι αλήθεια μόνο στην περίπτωση που ο X είναι K-κυρτός, ισχύει δηλαδή ότι sup n K r n) X) <. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε το παρακάτω Θεώρημα Εστω X χώρος με νόρμα. Για κάθε 1 < p 2 q < με 1 p + 1 q = 1 και για κάθε m 1 έχουμε C q X, m) T p X, m) K r m) X) C q X, m). Αποδεικνύουμε στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Kahane-Khintchine, ότι οι χώροι L p έχουν τύπο-min{p, 2} και συντύπο-max{2, p} και τίποτα καλύτερο. Το ότι το ίδιο ισχύει και για τους l p είναι μια απλή παρατήρηση. Αν θέσουμε p X = sup{p : ο X έχει τύπο-p} και q X = inf{q : ο X έχει συντύπο-q}, το Θεώρημα των Maurey-Pisier λέει ότι τόσο ο l px όσο και ο l qx είναι πεπερασμένα αναπαραστάσιμοι στον X. Στην παράγραφο 3.4 παρουσιάζουμε μία μεταγενέστερη απόδειξη του Pisier του γεγονότος αυτού για την περίπτωση του τύπου. Για τις ανάγκες της απόδειξης χρησιμοποιούνται εργαλεία από τις πιθανότητες και εισάγονται οι έννοιες της p-ευσταθούς τυχαίας μεταβλητής και του p-ευσταθούς τύπου χώρων Banach: Λέμε ότι μια τυχαία μεταβλητή θ σε ένα χώρο πιθανότητας Ω, A, P) είναι p-ευσταθής για κάποιο p [1, 2], αν Ee itθ ) = e σp p t p /2,

14 10 Εισαγωγη για μια σταθερά σ p > 0 που εξαρτάται μόνο από το p. Ο X έχει ευσταθή τύπο-p αν ο παραπάνω ορισμός του τύπου ικανοποιείται όταν αντικαταστήσουμε τις ɛ i από μια ακολουθία {θ i } ανεξάρτητων, συμμετρικών p-ευσταθών τυχαίων μεταβλητών. Μπορούμε να δείξουμε ότι αν ο X έχει ευσταθή τύπο-p, τότε έχει και τύπο-p, για κάθε p > 1. Από την άλλη, αν ο X έχει τύπο-p, τότε έχει ευσταθή τύπο-r, για κάθε 1 r < p. Το βασικό αποτέλεσμα της παραγράφου είναι το παρακάτω θεώρημα του Pisier Θεώρημα Εστω 1 < p < 2 και έστω q ο συζυγής εκθέτης του p. Για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δε, p) > 0 ώστε κάθε χώρος Banach X ευσταθούς τύπου p να περιέχει υπόχωρο διάστασης k = δst p X)) q ο οποίος είναι 1 + ε)-ισομορφικός με τον l k p. Κεφάλαιο 4. Εισάγουμε τον ορισμό των Bourgain, Milman και Wolfson για τον τύπο ενός μετρικού χώρου: Ενας μετρικός χώρος M, d) έχει μετρικό τύπο-p αν υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε, για κάθε n και για κάθε f : { 1, 1} M ισχύει ) 1/2 n 1/2 dfɛ), f ɛ)) 2 dµɛ) Cn 1 p 1 2 i fɛ)) dµɛ)) 2, όπου E n 2 E n 2 i fɛ) = dfɛ), fɛ 1,..., ɛ i,..., ɛ n )). Με τον παραπάνω ορισμό και γράφοντας C n p για τον κύβο E n 2 εφοδιασμένο με την l p - μετρική, έχουμε το θεώρημα Θεώρημα Ενας μετρικός χώρος M, d) δεν έχει μετρικό τύπο-p για κανένα p > 1 αν και μόνον αν για κάθε ε > 0 και για κάθε n N ο M περιέχει 1 + ε)-ισομορφικές κόπιες του C n 1. Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος παρουσιάζεται στην παράγραφο 4.2. Στην 4.3 εξετάζουμε την ισοδυναμία των ορισμών του μετρικού τύπου και του τύπου σε χώρους Banach: Θεώρημα Εστω 1 p < 2 και έστω X ένας χώρος Banach. i) Αν ο X έχει τύπο p τότε ο X έχει μετρικό τύπο p 1 για κάθε p 1 < p. ii) Αντίστροφα, αν ο X έχει μετρικό τύπο p τότε ο X έχει τύπο p 1 για κάθε p 1 < p. Η απόδειξη που παρουσιάζουμε εδώ οφείλεται στον Pisier, [62], και στηρίζεται στην απόδειξη της παρακάτω ανισότητας Λήμμα Εστω X ένας χώρος Banach και έστω f : { 1, 1} n X. Για κάθε p 1 και για κάθε n 1, p 1/p p n 1/p f fdµ dµ) 2e log n ζ i D i fɛ) dµɛ)dµζ)),

15 1.2 Περιγραφη της δομης της εργασιας 11 όπου D i fɛ) = 1 2 fɛ1,..., ɛ i,..., ɛ n ) fɛ 1,..., ɛ i,..., ɛ n ) ). Στην παράγραφο 4.4 τέλος, παρουσιάζουμε ένα αντίστοιχο αποτέλεσμα για μια παραλλαγή του παραπάνω ορισμού του μετρικού τύπου, που έχει τις ρίζες της στον Enflo: Θεώρημα Εστω X ένας χώρος Banach. Αν ο X έχει τύπο-p > 1, τότε υπάρχει σταθερά C > 0 τέτοια ώστε για κάθε n N και κάθε f : { 1, 1} n X, n dfɛ), f ɛ)) r dµ C i f) r dµ, για κάθε 1 r < p. Κεφάλαιο 5. Παρουσιάζουμε εδώ τη δουλειά των Mendel και Naor [51] πάνω στον ορισμό του συντύπου σε μετρικούς χώρους. Δεδομένων ενός μετρικού χώρου M, d), n N, m 2N και 1 p q, συμβολίζουμε με Γ q p) X; n, m) το infimum των Γ > 0 με την ιδιότητα: για κάθε f : M, 1.2.3) n d f x + m ) p Z 2 e j, fx)) Γ p m p n 1 p q E dfx + δ), fx)) p. n δ { 1,0,1} n m Λέμε ότι ο μετρικός χώρος M έχει μετρικό συντύπο-q, αν Γ q) q X) := sup inf n N m 2N Γq) q X; n, m) <. Στην παράγραφο 5.1 εξετάζουμε κάποιες βασικές ιδιότητες που απορρέουν από τον παραπάνω ορισμό και θα φανούν χρήσιμες παρακάτω. Στην παράγραφο 5.2 καταπιανόμαστε με τη σχέση του νέου ορισμού με το συντύπο σε χώρους με νόρμα, δείχνοντας ότι ένας χώρος Banach X έχει συντύπο-q αν και μόνον αν έχει μετρικό συντύπο-q, συγκεκριμένα 1 2π C qx) Γ q) q X) 108C q X). Η αριστερή ανισότητα αποδεικνύεται εύκολα αρκεί να εφαρμόσουμε τον ορισμό του μετρικού συντύπου σε μια κατάλληλη, γραμμική συνάρτηση f : X. Για την αντίστροφη μεριά της ισοδυναμίας χρησιμοποιείται με ουσιαστικό τρόπο η γεωμετρία του, στον οποίο έχουμε δώσει μετρική δομή βλέποντάς τον σαν ένα l -γράφημα Cayley. Η απόδειξη των παραπάνω εκτείνεται στα εδάφια και Προηγουμένως, στο ασχολούμαστε ξεχωριστά με την περίπτωση των χώρων Hilbert. Χρησιμοποιώντας εργαλεία αρμονικής ανάλυσης στον, δείχνουμε ότι κάθε χώρος Hilbert έχει μετρικό συντύπο-2. Στο καταπιανόμαστε με την περίπτωση που ο X είναι ένας K-κυρτός χώρος Banach με συντύποq, δίνοντας τότε και μια βέλτιστη εκτίμηση για την τάξη μεγέθους του μικρότερου m 2N για το οποίο η 1.2.3) ικανοποιείται, για δεδομένα n N και Γ > 0. Συγκεκριμένα,

16 12 Εισαγωγη Θεώρημα Εστω X ένας K-κυρτός χώρος Banach με Rademacher συντύπο q. Τότε, για κάθε n N και για κάθε m 4N ισχύει ότι m C p) q n 1/q X)K r p) X) = Γp) q X; n, m) <. Η παράγραφος 5.3 τέλος, είναι αφιερωμένη στην απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος, τύπου Maurey-Pisier. Θεώρημα Εστω M, d) ένας μετρικός χώρος. ισοδύναμες. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι α) Γ 2) q M) =, για κάθε q <. β) Για κάθε m, n N και κάθε ε > 0, ο μετρικός χώρος [m] n = {0, 1,..., m 1} n, ) εμφυτεύεται με παραμόρφωση 1 + ε στον M. Κεφάλαιο 6. Αντικείμενο του κεφαλαίου αυτού είναι προβλήματα εμφύτευσης πεπερασμένων μετρικών χώρων σε χώρους με νόρμα, και συγκεκριμένα τους l και l 2. Στην παράγραφο 6.1 ασχολούμαστε με εμφυτεύσεις τύπου Fréchet. Στο εδάφιο παρουσιάζουμε ένα θεώρημα του Matoušek [42] σχετικά με τη μεγαλύτερη δυνατή διάσταση m για την οποία ένας μετρικός χώρος με n σημεία εμφυτεύεται στον l m : Θεώρημα Matoušek). Εστω γ = 2q 1 3 ένας περιττός φυσικός αριθμός και έστω X, d) ένας μετρικός χώρος με n σημεία. Υπάρχουν m = Oqn 1/q log n) και γ-εμφύτευση του X στον l m. Στο εδάφιο δείχνουμε το θεώρημα εμφύτευσης του Bourgain, [8] Θεώρημα Bourgain). Κάθε μετρικός χώρος M, d) με n σημεία εμφυτεύεται σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο με παραμόρφωση Olog n). Σημειώνουμε ότι, από το Λήμμα των Johnson-Lindenstrauss, έπεται τότε ότι μπορούμε να βρούμε m = Olog n) έτσι ώστε ο Ευκλείδειος χώρος του θεωρήματος να είναι ο l m 2. Το Θεώρημα προηγήθηκε χρονολογικά του , οι τεχνικές των αποδείξεων όμως παραμένουν κοντά, κάνοντας χρήση συγγενών πιθανοθεωρητικών τεχνικών. Στην επόμενη παράγραφο καταπιανόμαστε για πρώτη φορά με το ζήτημα εύρεσης ενός «μεγάλου» και «Ευκλείδειου» υποσυνόλου ενός μετρικού χώρου. Συγκεκριμένα παρουσιάζουμε το ακόλουθο μετρικό ανάλογο του θεωρήματος του Dvoretzky, των Bourgain, Figiel και Milman, [11]:

17 1.2 Περιγραφη της δομης της εργασιας 13 Θεώρημα Για κάθε ε > 0, κάθε μετρικός χώρος X, d) έχει υποσύνολο Y πληθικότητας Y C ε log X που εμφυτεύεται 1 + ε)-ισομορφικά στον l 2, όπου C ε παραπάνω είναι μια σταθερά που εξαρτάται μόνο από το ε. Αποδεικνύεται επιπλέον στο εδάφιο ότι το παραπάνω αποτέλεσμα είναι βέλτιστο, όσον αφορά το μέγεθος του συνόλου Y, υπό την εξής έννοια: Μπορούμε να εφοδιάσουμε το σύνολο [n] = {1,, n} με μια μετρική d, έτσι ώστε κανένα υποσύνολο X του [n] με n X log 2 n να μην εμφυτεύεται με παραμόρφωση μικρότερη από 1 + ε 0 στον l 2, για κάποιο ε 0 > 0. Κεφάλαιο 7. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε κάποια πρόσφατα αποτελέσματα της μη-γραμμικής θεωρίας Dvoretzky. Στην παράγραφο 7.1 κάνουμε μια εισαγωγή στις ιδιότητες των υπερμετρικών χώρων οι οποίοι παίζουν βασικό ρόλο παρακάτω. Ενας μετρικός χώρος U, d) λέγεται υπερμετρικός αν dx, y) max{dx, z), dz, y)}, για κάθε x, y, z U, και η d λέγεται τότε υπερμετρική. Βλέπουμε πώς, χάρη στην παραπάνω ισχυρή μορφή της τριγωνικής ανισότητας, ορίζεται μέσω της d μια σχέση ισοδυναμίας στα στοιχεία κάθε υπερμετρικού χώρου U, διαμερίζοντάς τον έτσι σε επιμέρους υπερμετρικά με την επαγόμενη μετρική) σύνολα. Μπορεί έτσι κανείς να βρει μια ακολουθία όλο και λεπτότερων διαμερίσεων του U, και να αντιστοιχίσει καθεμιά από αυτές με τα διαδοχικά επίπεδα ενός γραφοθεωρητικού δένδρου, το σύνολο των φύλλων του οποίου ταυτίζεται τελικά με τον U. Η εικόνα αυτή χρησιμοποιείται για να δείξουμε με επαγωγή ότι ένας πεπερασμένος υπερμετρικός χώρος είναι ισομετρικά ισόμορφος με μια σφαίρα χώρου Hilbert. Η παράγραφος 7.2 αφιερώνεται στην απόδειξη του Θεωρήματος 1.1.6, η οποία χρησιμοποιεί πιθανοθεωρητικά επιχειρήματα. Στην πραγματικότητα αποδεικνύουμε το παρακάτω ισχυρότερο αποτέλεσμα. Θεώρημα Εστω M, d) πεπερασμένος μετρικός χώρος και w 1, w 2 : X [0, ) δύο μη αρνητικές συναρτήσεις βάρους. Τότε για κάθε ε 0, 1) υπάρχει S X που εμφυτεύεται σε κάποιον υπερμετρικό χώρο με παραμόρφωση 1.2.4) D = 2 ε1 ε) 1 ε ε ενώ ταυτόχρονα ικανοποιεί την ) ) ε 1.2.5) w 1 x) w 2 x) w 1 x) w 2 x) ε. x S x X Παρατηρήστε ότι το Θεώρημα δεν είναι παρά η περίπτωση w 1 = w 2 = 1 παραπάνω, το γενικότερο επιχείρημα όμως θα μας φανεί χρήσιμο στη συνέχεια. Στην παράγραφο 7.3 παρουσιάζουμε την απόδειξη του Θεωρήματος 1.1.7, η οποία ανάγεται στην απόδειξη του εξής: x X

18 14 Εισαγωγη Θεώρημα Mendel, Naor). Για κάθε ε 0, 1) υπάρχει c ε 0, ) με την ακόλουθη ιδιότητα: Κάθε μετρικός χώρος μέτρου M, d, µ) έχει κλειστό υποσύνολο S M τέτοιο ώστε ο S, d) να εμφυτεύεται με παραμόρφωση 9/ε σε υπερμετρικό χώρο και επιπλέον, για κάθε {x i } i I X και {r i } i I [0, ) τέτοια ώστε οι μπάλες {Bx i, r i )} i I να καλύπτουν το S, να έχουμε µbx i, c ε r i )) 1 ε µx) 1 ε. i I Σε αντίθεση με την προηγούμενη παράγραφο, η μέθοδος που χρησιμοποιείται εδώ είναι κατά βάση ντετερμινιστική και βασίζεται στην κατασκευή κατάλληλου υποσυνόλου S του M που ικανοποιεί τις ζητούμενες ιδιότητες. Η κατασκευή στηρίζεται στην εύρεση μιας «δενδροειδούς» ακολουθίας διαμερίσεων του M με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Περνώντας στη συνέχεια σε ένα κατάλληλο υποδένδρο και χρησιμοποιώντας και το Θεώρημα βρίσκουμε τελικά το ζητούμενο σύνολο S. Κλείνοντας, στην παράγραφο 7.4 παρουσιάζουμε συνοπτικά την πορεία των τελευταίων χρόνων στο πεδίο των μη-γραμμικών Ευκλείδειων εμφυτεύσεων. Δίνουμε μέσω του Θεωρήματος μια απάντηση στο μη-γραμμικό πρόβλημα Dvoretzky για πεπερασμένους μετρικούς χώρους εδάφιο 7.4.1), για την περίπτωση που αφήνουμε την παραμόρφωση D να είναι οσοδήποτε μεγαλύτερη από το 2. Για παραμορφώσεις D [1, 2) η λογαριθμική τάξη μεγέθους των Ευκλείδειων υποσυνόλων που μας δίνει το θεώρημα των Bourgain- Figiel-Milman είναι γενικά η καλύτερη δυνατή. Εδώ βλέπουμε ότι για D > 2 μπορούμε να περάσουμε σε πολυωνυμικής τάξης ως προς την πληθικότητα του M) «υπερμετρικά» υποσύνολα. Στην τιμή D = 2 ωστόσο, όπου παρατηρείται το παραπάνω φαινόμενο μετάβασης, δεν είναι ακόμη γνωστό αν μπορουμε να έχουμε ένα κάτω φράγμα καλύτερο από log M. Πέρα από την πεπερασμένη περίπτωση, το Θεώρημα έχει να δώσει πολλά περισσότερα. Στο εδάφιο συμβολίζουμε με dim H X) τη διάσταση Hausdorff ενός μετρικου χώρου X και παρουσιάζουμε μια απάντηση στο πρόβλημα του Tao μέσα από το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 τέτοια ώστε για κάθε ε 0, 1) και a > 0, κάθε μετρικός χώρος X με dim H X) a έχει κλειστό υποσύνολο S X με dim H S) 1 ε)a που εμφυτεύεται με παραμόρφωση C/ε σε υπερμετρικό χώρο. Σαν μια τρίτη εφαρμογή του Θεωρήματος , παρουσιάζουμε τέλος στο εδάφιο ένα αποτέλεσμα που δίνει μια απλή απόδειξη του majorising measures θεωρήματος του M. Talagrand βλ. [67],[69]). Συγκεκριμένα, αν {G x } x X είναι μια γκαουσιανή ανέλιξη, μπορούμε να δώσουμε δομή μετρικού χώρου στο σύνολο δεικτών X, εφοδιάζοντάς το με τη μετρική dx, y) = E[G x G y ) 2 ] ) 1/2. Αν P X είναι η οικογένεια των Borel μέτρων πιθανότητας στον μετρικό χώρο X, d), συμ-

19 1.2 Περιγραφη της δομης της εργασιας 15 βολίζουμε γ 2 X, d) = inf sup µ P X x X 0 log 1 µb d x, r)) ) dr. Από παλιότερη δουλειά του Fernique είναι γνωστό ότι γ 2 X, d) c E[sup x X G x ] για κάποια σταθερά c, ενώ επιπλέον το αντίστροφο ισχύει στην περίπτωση που ο X είναι ένας υπερμετρικός χώρος. Το 1985 ο Talagrand μέσω ενός θεωρήματος τύπου Dvoretzky, έδειξε τελικά ότι αυτό είναι αλήθεια και στη γενικότερη περίπτωση, εξασφαλίζοντας έτσι την «ισοδυναμία» των γ 2 X, d) και E[sup x X G x ]. Παρουσιάζουμε εδώ την απόδειξη του ενδιάμεσου αυτού βήματος. Θεώρημα Υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, D 0, ) τέτοιες ώστε κάθε πεπερασμένος μετρικός χώρος X, d) έχει υποσύνολο S X που εμφυτεύεται με παραμόρφωση D σε υπερμετρικό χώρο, και επιπλέον γ 2 S, d) c γ 2 X, d). Κλείνουμε το κείμενο με δύο παραρτήματα: Στο Παράρτημα Αʹ παραθέτουμε την ανισότητα του Talagrand στο διακριτό κύβο και την ανισότητα του Azuma, πριν αποδείξουμε με τη μέθοδο των martingales την ανισότητα Khintchine και την ανισότητα Kahane- Khintchine. Στο Παράρτημα Βʹ δίνονται οι ορισμοί του μέτρου και της διάστασης Hausdorff, και μια απόδειξη του Λήμματος του Frostman, ενός αποτελέσματος που εγγυάται την ύπαρξη συγκεκριμένων μέτρων Borel σε ένα συμπαγή μετρικό χώρο θετικής διάστασης Hausorff, γεγονός που παίζει ουσιαστικό ρόλο στην απόδειξη του Θεωρήματος

20

21 KEFŸALAIO 2 To Je rhma tou Ribe 2.1 To Je rhma tou Ribe Θα λέμε ότι δύο χώροι Banach X και Y είναι uniform-ομοιομορφικοί αν υπάρχει ομοιομορφισμός φ : X Y τέτοιος ώστε οι φ και φ 1 να είναι και ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις. Λέμε ακόμη ότι ο X είναι αδρά πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον Y αν υπάρχει σταθερά C 1 τέτοια ώστε για κάθε n N και κάθε υπόχωρο X 1 του X με dimx 1 = n, υπάρχει Y 1 υπόχωρος του Y έτσι ώστε dx 1, Y 1 ) C, όπου με dx 1, Y 1 ) συμβολίζουμε την απόσταση Banach-Mazur των X 1, Y 1. Θεώρημα Ribe). Εστω X, Y δύο uniform-ομοιομορφικοί χώροι Banach. Τότε ο X είναι αδρά πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον Y και ο Y είναι αδρά πεπερασμένα αναπαραστάσιμος στον X. Αν X, d), Y, σ) είναι δύο μετρικοί χώροι, θα λέμε παρακάτω ότι μια συνάρτηση f : X Y ικανοποιεί συνθήκη Lipschitz για μεγάλες αποστάσεις ή ότι είναι Lipschitz για μεγάλες αποστάσεις), αν για κάθε δ > 0 υπάρχει σταθερά K δ > 0 τέτοια ώστε αν x, y X και dx, y) δ τότε σfx), fy)) K δ dx, y). Ξεκινάμε με την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση Εστω X, Y δύο χώροι Banach. Αν μια συνάρτηση f : X Y είναι ομοιόμορφα συνεχής, τότε είναι Lipschitz για μεγάλες αποστάσεις. Απόδειξη. Από την ομοιόμορφη συνέχεια της f, υπάρχει d > 0 τέτοιος ώστε, για κάθε u, v X, u v X < d = fu) fv) Y < 1.

22 18 Το Θεωρημα του Ribe Εστω δ > 0, και έστω x, y X με x y X δ. Θέτουμε m = 2 x y X /d και επιλέγουμε x = a 0, a 1,..., a m = y σημεία τέτοια ώστε a i a i 1 X = x y X m d 2 < d για κάθε i = 1,..., m συγκεκριμένα, επιλέγουμε a i = x + i m y x)). Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε fx) fy) Y m fa i ) fa i 1 ) Y m 2 x y X d d + 1 ) x y X, δ όπου, για την τελευταία ανισότητα, χρησιμοποιούμε την x y X δ. Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο με K δ = 2 d + 1 δ. Προχωράμε τώρα στην απόδειξη του θεωρήματος. Απόδειξη του Θεωρήματος Εστω φ : X Y ένας uniform-ομοιομορφισμός. Τότε από την Πρόταση 2.1.2, οι φ και φ 1 είναι Lipschitz για μεγάλες αποστάσεις. Πολλαπλασιάζοντας την φ με κατάλληλη σταθερά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει K > 0 τέτοιος ώστε για κάθε x, y X με x y X 1 να ισχύει 2.1.1) x y X φx) φy) Y K x y X. Εστω X 1 υπόχωρος του X με dimx 1 = n. Επιλέγουμε μια Auerbach βάση {x i } n του X 1. Δηλαδή, τα x 1,..., x n ικανοποιούν την max a n n i a i x i a i 1 i n X για κάθε ακολουθία {a i } n πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα, n k i x i 1 X για κάθε επιλογή ακεραίων {k i } n που δεν είναι όλοι ίσοι με μηδέν. Ορίζουμε { n } M = k i x i k i Z, i = 1,..., n. Επίσης, για σταθερό m N θέτουμε { n } M m = k i x i k i Z, k i m, i = 1,..., n.

23 2.1 Το Θεωρημα του Ribe 19 Εστω m, s N. Κάθε σύνολο L της μορφής u + sm m, όπου u M, θα λέγεται πεπερασμένο lattice μεγέθους 2m + 1) n και βήματος s. Για κάθε πεπερασμένο lattice L βήματος s, ορίζουμε φ L : sm Y με φ L y) = L 1 z L φz + y) φz)). Κάθε φ L είναι K-Lipschitz: αν x y sm τότε φ L x) φ L y) Y = L 1 φz + x) φz)) z L z L = L 1 φz + x) φz + y)) z L L 1 z L φz + x) φz + y) Y Y φz + y) φz)) Y L 1 z L K x y X = K x y X, γιατί η φ είναι K-Lipschitz για μεγάλες αποστάσεις, και x y X 1. Επιπλέον, η φ L είναι σχεδόν προσθετική, με την εξής έννοια: αν y, z sm τότε φ L y + z) = L 1 x L φx + y + z) φx)) = L 1 x L = φ y+l z) + φ L y). φx + y + z) φx + y)) + L 1 x L φx + y) φx)) Η επόμενη παρατήρηση είναι ότι, αν θεωρήσουμε πως L = 2m + 1) n για κάποιο m N, σταθεροποιήσουμε y, z sm και αφήσουμε το m να μεγαλώσει αυθαίρετα, τότε τα περισσότερα στοιχεία των συνόλων L και y + L άρα και οι περισσότεροι όροι των φ L z) και φ y+l z) συμπίπτουν: Αν y = s n ky) i x i, θέτουμε m y = max,...,n k y) i, ώστε να έχουμε k y) i m y για κάθε i = 1,..., n. Αν για κάποιο x υποθέσουμε ότι x = s n kx) i x i L\y +L), τότε x y / L, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα i 0 {1,..., n} ώστε δηλαδή ώστε m k y) i 0 για το k z) i 0 είναι 2 k y) i 0 L \ y + L) m < k z) i 0 k y) i 0 k z) i 0 + k y) i 0 m + k y) i 0, < k z) i 0 και άρα το πλήθος των z με αυτή την ιδιότητα για κάποια συντεταγμένη i 0 θα m. Υπάρχουν λοιπόν k y) i 0 το πλήθος δυνατές επιλογές 2m + 1) n 1 2m y 2m + 1) n 1. Επεται έτσι ότι n 2 k y) i 2m + 1) n 1 n 2m y 2m + 1) n 1 = 2nm y 2m + 1) n 1.

24 20 Το Θεωρημα του Ribe Με τον ίδιο τρόπο έχουμε επίσης ότι y + L) \ L 2nm y 2m + 1) n 1, οπότε y + L) L 4nm y 2m + 1) n 1. Από τα παραπάνω, μπορούμε τελικά να ισχυριστούμε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει κατάλληλο m = mε, K, y X ) N ώστε L > 2m + 1) n Επιπλέον, για κάθε z 0, z sm, αφού φ y+l z) φ L z) Y = L 1 L 1 L 1 x + z x X = z X = s y + L) L L x y+l) L x y+l) L x y+l) L n ε K. φx + z) φx)) φx + z) φx) Y K z X, k z) i x i X s 1 και η φ είναι K-Lipschitz για αποστάσεις 1. Εχουμε δείξει έτσι ότι φ L y + z) φ L y) φ L z) Y = φ y+l z) φ L z) Y ε z X. Y y + L) L K z X L Με ένα επαγωγικό επιχείρημα βλέπουμε ότι, για κάθε m 0 N, για κάθε x = s n k ix i και για κάθε ε > 0, υπάρχει m = mε, m 0, K, s) N ώστε sm m ) φ L x) n k i φ L sx i ) Y ε x X. Θα χρειαστούμε στη συνέχεια και την ακόλουθη παρατήρηση: Ισχυρισμός Αν m 0 > 2n/ε, τότε το σύνολο { x x : x sm m 0 } είναι ε-πυκνό στη μοναδιαία σφαίρα S X1 του X 1.

25 2.1 Το Θεωρημα του Ribe 21 Απόδειξη. Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι s = 1. Εστω y S X1. Μπορούμε n να γράψουμε y = tixi n tixi, για κάποιους πραγματικούς αριθμούς {t i} n κατάλληλα επιλεγμένους ώστε να ισχύει η max k i t i 1 το n t ix i να είναι «κοντά» σε κάποιο σημείο του M m0 ) για κάποια {k i } Z τέτοια ώστε max k i = m 0 ο «κύβος» στον οποίο ανήκει το n t ix i να βρίσκεται στο «σύνορο» του lattice). Προσθαφαιρώντας τον όρο n tixi n kixi και χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα μπορούμε να ελέγξουμε ότι n k ix i n k ix i y 2 n k i t i n k ix i οπότε επιλέγοντας m 0 > 2n/ε παίρνουμε το ζητούμενο. 2 n k i t i 2n, max k i m 0 Ορίζουμε τώρα τον γραμμικό τελεστή T L : X 1 Y μέσω των T L sx i ) = φ L sx i ), για κάθε i = 1,..., n. Από την ανισότητα 2.1.2) έχουμε τότε ότι, για κάθε x sm m0, 2.1.3) φ L x) T L x) Y ε x X, x sm m0, και άρα ) x T L φ Lx) + ε < K + ε. x x Εστω τώρα u S X1. Από τον Ισχυρισμό μπορούμε τότε να βρούμε {u j } j=0 { x x sm m0 } τέτοια ώστε u = j=0 εj u j. Επιλέγοντας ε < K 2K+1, έχουμε τότε ότι T L u) j=0 ε j T L u j ) < K + ε 1 ε < 2K. x : Για να εξασφαλίσουμε περαιτέρω ότι ο τελεστής T L είναι αντιστρέψιμος και να βρούμε ένα φράγμα για την T 1 L, θα πρέπει να κάνουμε μια ιδιαίτερη επιλογή του συνόλου L. Ισχυρισμός Εστω l Z + και y M. Τότε υπάρχει M = Ml, y) > 0 τέτοιος ώστε για κάθε πεπερασμένο lattice L 1 μεγέθους 2m + 1) n, όπου m > M, υπάρχουν sublattice L 2 L 1 μεγέθους 2l + 1) n και βήματος s N, και u Y με u = 1, τέτοια ώστε u, φx + sy) φx) s y X, 2 για κάθε x L 2. Δεχόμενοι προς στιγμή την αλήθεια του παραπάνω ισχυρισμού, προχωρούμε ως εξής: Επιλέγουμε ε > 0 και m 0 N όπως παραπάνω, και θεωρούμε μια αρίθμηση {y i } p, p = 2m 0 +1) n 1, των μη μηδενικών στοιχείων του M m0. Επιλέγουμε ένα πολύ μεγάλο m 1 = m 1 ε, m 0, p) και θέτουμε L 1 = M m1. Εφαρμόζουμε τότε το επιχείρημα του ισχυρισμού p

26 22 Το Θεωρημα του Ribe φορές διαδοχικά για κάθε y i για να βρούμε sublattices L 1 L 2 L p+1 = L και μοναδιαία u i Y τέτοια ώστε u i, φx + sy i ) φx) s y i X, 2 για κάθε i = 1,..., p και κάθε x L, όπου s το βήμα του L. Σημειώνουμε ότι το m 1 μπορεί να επιλεγεί αρκετά μεγάλο ώστε για το L να μην παύει η ισχύς της 2.1.3), καθώς και ότι T L 2K. Εχουμε πλέον ότι, για κάθε i = 1,..., p, φ L sy i ) Y = L 1 φx + sy i ) φx)) x L Y = L 1 u i φx + sy i ) φx)) x L Y L 1 u i, φx + sy i ) φx) s y i Y. 2 x L Επιλέγουμε ε < 1 6. Από την 2.1.3) και την παραπάνω σχέση για s = 1 ισχύει ότι απ όπου έπεται ότι φ L y i ) T L y i ) Y y i X 6 φ Ly i ) Y 3 T L y i ) Y 2 φ Ly i ) Y y i X, 3 3 για κάθε i = 1,..., p. Για κάθε μοναδιαίο z X 1 τέλος, μπορούμε να επιλέξουμε i {1,..., p} ώστε z yi y i X X < ε, οπότε T L z) Y T y i L ) y i X T Lz y i ) Y y i X 1 Y 3 2Kε 1 4, αν ε < 1 24K. Εχουμε δείξει έτσι ότι ο T L είναι αντιστρέψιμος, και T 1 L 4, οπότε όπου Y 1 := T L X 1 ). dx 1, Y 1 ) T L T 1 L 8K,, Απόδειξη του Ισχυρισμού Μπορούμε χάριν απλότητας να υποθέσουμε ότι ο L 1 έχει βήμα ίσο με 1, και θεωρούμε N N, N > l. Θέτουμε επιπλέον { a j = sup 2 j φx + } 2j y) φx) Y : x L 1 τέτοιο ώστε x + 2 j y L 1. y X

27 2.1 Το Θεωρημα του Ribe 23 Ισχύει τότε, από την 2.1.1), ότι 1 a j K για κάθε j. Ακόμη, για x, x + 2 j 1 y L 1, 2 j φx + 2j y) φx) Y y X 2 j φx + 2j y) φx + 2 j 1 y) Y + φx + 2 j 1 y) φx) Y y X = 2 j φx + 2j 1 y) + 2 j 1 y) φx + 2 j 1 y) Y + φx + 2 j 1 y) φx) Y y X 2 1 a j 1 + a j 1 ), οπότε a j a j 1. Επιλέγουμε τέλος M > 0 με την ιδιότητα: Αν m > M, τότε τα σύνολα στον ορισμό των a j παραπάνω είναι μη κενά για έναν αριθμό από j αρκετά μεγάλο, ώστε να μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι υπάρχει j 0 τέτοιο ώστε a j0 a j0+n + 2 N. Αυτό είναι συνέπεια της αρχής του περιστερώνα: Αν το m είναι αρκετά μεγάλο, τότε θα μπορούμε να βρούμε j 0 N τέτοιο ώστε a j0+n [supa j ) 2 N, supa j )]. Αν υποθέσουμε τότε ότι a j0 > a j0+n + 2 N, έπεται ότι a j0 > supa j ), που είναι άτοπο. Εστω τώρα το z L 1 εκείνο, για το οποίο ισχύει ότι a j0+n = 2 j0 N φz + 2j0+N y) φz) Y y X. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι z = 0 αλλιώς εργαζόμαστε στον L 1 z) καθώς και, περνώντας στο sublattice L 1 2 j0 L 1 και με επαναπροσαρμογή της κλίμακας, ότι j 0 = 0. Εχουμε τότε ότι a 0 2 N a N = 2 N φ2 N y) φ0) Y y X. Από το Θεώρημα Hahn-Banach υπάρχει μοναδιαίο u Y ώστε u, φ2 N y) φ0) = 2 N a N y X. Θεωρούμε v M m, και θέτουμε C = 1+2K max { v X y X : v M m }. Μετά από κατάλληλες πράξεις είναι φανερό ότι, u, φv + 2 N y) φv) u, φ2 N y) φ0) φv + 2 N y) φ2 N y) Y φv) φ0) Y 2.1.4) 2 N a N y X 2K v X 2 N a 0 2 N ) y X 2K v X 2 N a 0 C) y X. Λόγω γραμμικότητας ισχύει επιπλέον ότι 2 N ) u, φv + 2 N y) φv) = u, φv + k + 1)y) φv + ky), k=0

28 24 Το Θεωρημα του Ribe όπου για κάθε έναν από τους όρους του παραπάνω αθροίσματος έχουμε 2.1.6) u, φv + k + 1)y) φv + ky) = u, φv + ky) + y) φv + ky) Εστω v M m. Ορίζουμε J v = φv + ky) + y) φv + ky) Y a 0 y X. { k {0, 1,..., 2 N 1} : u, φv + k + 1)y) φv + ky) < y X 2 Από τις 2.1.4), 2.1.5), 2.1.6) και τον παραπάνω ορισμό έπεται τότε ότι }. J v y X N J v )a 0 y X = k J v y X 2 + k / J v a 0 y X > u, φv + 2 N y) φv) 2 N a 0 C) y X, και από την παραπάνω και το γεγονός ότι a 0 1, είναι άμεσο ότι C > J v a 0 1 ) J v 2 2. Εχουμε έτσι ότι J v < 2C, για κάθε v M m. Επεται τότε ότι, επιλέγοντας N N τέτοιο ώστε < 2m + 1)n 2C 2 N, v M m J v αναγκαστικά υπάρχει k 0 {0,..., 2 N 1} τέτοιο ώστε, για κάθε v M m, u, φv + k 0 + 1)y) φv + k 0 y) y X. 2 Θέτοντας L 2 = k 0 y + M m έχουμε L 2 L 1 και u, φx + y) φx) y X 2 για κάθε x L 2.

29 KEFŸALAIO 3 TÔpoc kai SuntÔpoc q rwn Banach 3.1 Sunart seic Rademacher kai sunart seic Walsh Ορισμός Για κάθε n N θεωρούμε τον διακριτό κύβο E2 n κάθε i = 1,..., n ορίζουμε r i : E2 n { 1, 1} με = { 1, 1} n και για Οι r i είναι οι συναρτήσεις Rademacher. r i ɛ) = r i ɛ 1,..., ɛ i,..., ɛ n ) = ɛ i. Βλέπουμε τον E2 n σαν χώρο πιθανότητας με το ομοιόμορφο μέτρο µ n : για κάθε f : E2 n R ορίζουμε fɛ)dµ n ɛ) = 1 2 n fɛ). E n 2 ɛ E n 2 Γενικότερα, αν X είναι ένας χώρος Banach, για κάθε f : E2 n X ορίζουμε fɛ)dµ n ɛ) = 1 2 n fɛ) X. E n 2 Για κάθε q 1 ο χώρος όλων των συναρτήσεων f : E2 n X είναι χώρος Banach με νόρμα την 1/q f LqE2 n;x) := fɛ) q X nɛ)) dµ. E n 2 ɛ E n 2

30 26 Τυπος και Συντυπος χωρων Banach Οι συναρτήσεις Rademacher αποτελούν ένα ορθοκανονικό σύστημα του L 2 E n 2 ; R), γεγονός που για κάθε a 1,..., a n R μας δίνει την ταυτότητα 3.1.1) n n ) 1/2 a i r = a i 2. i L2E 2 n;r) Πιο γενικά, έχουμε το παρακάτω κλασικό αποτέλεσμα. Θεώρημα ανισότητα του Khintchine). Εστω 0 < p <. Τότε υπάρχουν σταθερές A p, B p > 0 τέτοιες ώστε για κάθε n N και για κάθε a = a 1,..., a n ) l n 2 R), n ) 1/ ) A p a i 2 n n ) 1/2 a i r B p a i 2 i LpE 2 n;r) Παρατήρηση Από την ανισότητα Hölder προκύπτει ότι για p 2 η αριστερή ανισότητα στην 3.1.2) ισχύει με A p = 1, ενώ για p 2 η δεξιά ανισότητα ικανοποιείται με B p = 1. Η ανισότητα του Khintchine δείχνει ότι όλες οι L p -νόρμες είναι ισοδύναμες στον χώρο span{r i i = 1,..., n}. Το γεγονός αυτό τελικά έχει ισχύ και σε κάθε χώρο Banach X: Θεώρημα ανισότητα Kahane Khintchine). Για κάθε 1 p < υπάρχει σταθερά C p > 0 τέτοια ώστε, για κάθε χώρο Banach X και για κάθε πεπερασμένη ακολουθία x i ) n X, n n p) 1/p n 3.1.3) E ɛ i x i E ɛ i x i C p E ɛ i x i. Στο Παράρτημα Α παρουσιάζουμε αποδείξεις των Θεωρημάτων και Ορισμός Για καθε A {1,..., n}, ορίζουμε w A : E n 2 { 1, 1} με w A ɛ) = i A r i ɛ). Θέτουμε επιπλέον w 1. Οι συναρτήσεις w A, A {1,..., n}, είναι οι συναρτήσεις Walsh. Παρατηρούμε ότι r i = w {i}. Οπως θα δούμε παρακάτω, οι συναρτήσεις Walsh αποτελούν ορθοκανονική βάση του L 2 E2 n ; R), και κάθε συνάρτηση f : E2 n X μπορεί να αναπαρασταθεί σαν άθροισμα στοιχείων του συνόλου { w A A {1,..., n} } X.

31 3.1 Συναρτησεις Rademacher και συναρτησεις Walsh 27 Πρόταση Κάθε w A : E2 n { 1, 1} είναι ομομορφισμός ομάδων τάξης 2, δηλαδή wa 2 1. Επιπλέον, ισχύουν οι σχέσεις ορθογωνιότητας 3.1.4) και 3.1.5) όπου δ xy = 1 αν x = y και δ xy = 0 αν x y. w A ɛ)w B ɛ) = 2 n δ AB ɛ w A ɛ)w A ζ) = 2 n δ ɛζ, A Απόδειξη. Οι σχέσεις ορθογωνιότητας είναι απλές - η πρώτη προκύπτει από το γεγονός ότι w A w B = w A B και το ότι ɛ w A Bɛ) = 0 εκτός αν A B =. Για την δεύτερη, αν ɛ = ζ τότε προφανώς w A ɛζ) = 1, οπότε A w Aɛ)w A ζ) = 2 n. Αν πάλι υποθέσουμε ότι υπάρχει j {1,..., n} τέτοιο ώστε ɛ j ζ j, τότε A w A ɛζ) = A j A w A ɛζ) + A j / A w A ɛζ) = A j A w A\{j} ɛζ) + A j / A w A ɛζ) = 0. Πρόταση Κάθε f : E n 2 X μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή fɛ) = A w A ɛ)x A, για κάποια x A X. Απόδειξη. Για κάθε A {1,..., n} θέτουμε x A = w A ɛ)fɛ)dµ n ɛ). E n 2 Βλέπουμε τότε, χρησιμοποιώντας την 3.1.5), ότι για κάθε ɛ E2 n w A ɛ)x A = ) w A ɛ) w A ζ)fζ)dµ n ζ) A A E2 n ) = fζ) w A ɛ)w A ζ) dµ n ζ) = fɛ). E2 n A